Nach oben ^

Aufgaben zu Einheit 1


Aufgabe - Das Gefangenendilemma

Gefangenendilemma

Findet euch in 3er-Gruppen zusammen und lest den folgenden Text. Anschließend teilt jedem von euch eine Rolle zu, es muss einen Richter und zwei Gefangene geben.

Das Gefangenendilemma gehört zu den klassischen Beispielen der Spieltheorie, die Ausgangssituation ist Folgende:
Zwei Gefangene werden eines gemeinsamen Verbrechens beschuldigt. Dieses Verbrechen haben die beiden auch tatsächlich begangen, es liegen aber nur Indizien dafür vor, der Beweis fehlt.

Nun werden die beiden Gefangenen getrennt voneinander verhört, dazu wird ihnen ein Handel vorgeschlagen:

  • Gestehen beide Gefangenen das Verbrechen, bekommen beide 4 Jahre Haft.
  • Gesteht ein Gefangener und der andere schweigt, so bekommt der Geständige keine Haftstrafe. Derjenige, der schweigt, bekommt allerdings 5 Jahre Haft.
  • Schweigen beide Gefangenen, erhalten sie wegen geringfügigerer Delikte, wie z. B. unerlaubten Waffenbesitzes, 2 Jahre Haft.

Die Entscheidung müssen die beiden Spieler alleine, völlig unabhängig voneinander treffen.

Überlegt euch, wie ihr euch als Gefangener in dieser Situation verhalten würdet.
Die beiden Gefangenen teilen ihre Entscheidung unabhängig voneinander und ohne vorherige Absprache dem Richter auf einem Zettel mit. Der Richter gibt daraufhin die Strafen bekannt.
Wiederholt das Spiel.

Was würdet ihr einem Gefangenen in dieser Situation raten? Begründet eure Antwort.


Nach oben ^

Aufgabe - Auszahlungsmatrizen und Auszahlungsfunktionen

Sucht euch zwei der folgenden Spiele aus und modelliert für jeden Spieler die Auszahlungsmatrix und stellt die allgemeine Auszahlungsfunktion für die jeweiligen Spieler auf.

Kalter Krieg *

Zwei Länder befinden sich im kalten Krieg, beide haben die Strategien Aufrüsten und Abrüsten zur Wahl.

Entscheidet sich ein Land für Aufrüsten, während das andere (in falschem Vertrauen) Abrüsten wählt, so steigt jenes Land, das besser für einen eventuellen Krieg gerüstet ist, mit einem Nutzen von 4 aus. Denn das andere Land ist in diesem Fall bei jeglichen Verhandlungen, z. B. auch bei wirtschaftlichen, einem Druck ausgesetzt und bekommt daher selbst einen subjektiven Nutzen von 0 zugeschrieben.
Rüsten beide Länder auf, wird viel Geld investiert, das ansonsten für andere Zwecke verwendet werden könnte. Außerdem hat keine Nation ein Druckmittel gegenüber der anderen (jeweils Nutzen 1). Bei beidseitigem Abrüsten steht beiden Ländern mehr Geld zur Verfügung, die Positionen sind ausgeglichen (jeweils Nutzen 2).

Das Markteintrittsspiel **

Eine Getränkehersteller möchte mit dem Produkt Supercola (SC) in den Markt für Cola eintreten.

Bisher ist eine Firma mit dem Produkt Colacola (CC) Monopolist auf diesem Markt. Supercola erarbeitet sich drei Werbestrategien, um sich auf dem Markt zu platzieren: WS1, WS2, WS3. Durch Spionage weiß Colacola darüber perfekt Bescheid und entwickelt drei Gegenstrategien: GS1, GS2, GS3. Supercola bekommt Wind davon und beauftragt ebenso wie Colacola ein Marktforschungsinstitut, das die Wirksamkeit der Strategien für alle eventuellen Gegenstrategien erforscht.

Setzt SC auf Strategie WS1 und kontert CC mit Strategie GS1 so wandern 20000 Kunden zu SC über, kontert CC mit GS2 30000 und mit GS3 70000 Kunden. Setzt SC auf die Strategie WS2 und kontert CC mit GS1, so wandern 10000 Kunden über, mit GS2 40000 und mit GS3 60000 Kunden. Setzt SC hingegen auf Strategie WS3, so wandern bei GS1 90000, bei GS2 50000 und bei GS3 80000 Kunden zu SC über. Die Firmen setzen durch Industriespionage ihre Werbestrategien nahezu gleichzeitig ein. Ist ein Werbefeldzug gestartet, ist er nicht mehr abzubrechen.

Erkennst du direkt, welche Strategien die Firmen ziehen?

Ein Münzspiel **

Jeder Spieler besitzt bei diesem Spiel drei Münzen, ein 50 Cent-Stück, ein Ein-Euro-Stück und ein Zwei-Euro-Stück. Auf ein vereinbartes Zeichen schmeißen beide Spieler gleichzeitig eine der Münzen in die Mitte. Vor Spielbeginn bestimmen die Spieler, wer Spieler 1 und wer Spieler 2 ist.

  • Schmeißen beide Spieler das 50 Cent-Stück in die Mitte, erhält Spieler 2 einen Euro von Spieler 1. Spielt Spieler 1 das 50 Cent-Stück und Spieler 2 das Ein-Euro-Stück, so erhält Spieler 1 einen Euro. Ebenso wenn Spieler 2 das Zwei-Euro-Stück in die Mitte wirft.
  • Wirft Spieler 1 ein Ein-Euro-Stück in die Mitte und Spieler 2 das 50 Cent-Stück, so erhält Spieler 1 einen Euro, bei einem Ein-Euro-Stück von Spieler 2 erhält Spieler 2 fünf Euro, ebenso bei einem Zwei-Euro-Stück von Spieler 2.
  • Spielt Spieler 1 das Zwei-Euro-Stück und Spieler 2 das 50 Cent-Stück, erhält er von Spieler 2 einen Euro, spielt Spieler 2 hingegen das Ein-Euro-Stück, erhält Spieler 1 fünf Euro, spielt Spieler 2 das Zwei-Euro-Stück erhält Spieler 1 zehn Euro.

Welche Strategie spielt wohl Spieler 1?

Schwarzfahren ***

Fahrgast Franz fährt jeden Tag mit derselben Straßenbahn zur Arbeit. Er kann dabei täglich zwischen den Strategien Schwarzfahren und Zahlen wählen. Kontrolleur Karl kann unabhängig davon jeden Tag entscheiden, ob er in dieser Straßenbahn kontrolliert oder nicht kontrolliert.

Wenn Franz schwarzfährt und Karl kontrolliert, ist das natürlich der schlechteste Fall für Franz. Er muss Strafe zahlen (40€), blamiert sich vor den anderen Fahrgästen und ärgert sich über den Zeitverlust, den die ganze Aktion mit sich bringt. Für Karl ist das allerdings optimal, er verbucht Einnahmen und kann Signalwirkung für die anderen Fahrgäste erzielen.
Umgekehrt ist die Situation, wenn Franz schwarzfährt, Karl aber nicht kontrolliert. Franz freut sich ein wenig über das ersparte Ticket, Karl ärgert sich über die vergebene Chance. Zahlt Franz, wenn Karl kontrolliert, ist das für Franz in Ordnung. Karl allerdings bedauert im Nachhinein, überhaupt kontrolliert zu haben. Wenn er allerdings nicht kontrolliert, dann ist wieder Franz unzufrieden, er hätte sich in diesem Fall das Zahlen ersparen können. Eine Fahrkarte kostet 3€. Kontrolliert Karl und erwischt einen Fahrgast, so erhält er als Prämie 10€. Das Kontrollieren hat für Karl immer einen Aufwand, da er in dieser Zeit nicht seinen Papierkram erledigen kann. Die verpasste Zeit pro Kontrolle kostet ihn 7€.


Nach oben ^

Lösungen zu Einheit 1


Das Gefangenendilemma - Wie soll sich nun ein Gefangener entscheiden?

Gefangener 2
Gefangener 1
Gestehen Schweigen
Gestehen - 4 | - 4 0 | - 5
Schweigen - 5 | 0 - 2 | - 2

Betrachtet man die Situation aus der Sicht des Gefangenen 1:

Gesteht der Gefangene 2, so erhält er, wenn er ebenfalls gesteht, die Auszahlung (- 4), d.h. 4 Jahre Haft, wenn er schweigt die Auszahlung (- 5).
Auf die Strategie Gestehen des Gefangenen 2 sollte der Gefangene 1 also mit Gestehen reagieren. Er erhält damit eine höhere Auszahlung (mehr Lebensjahre in Freiheit) als mit der Strategie Schweigen.

Schweigt der Gefangene 2, entgeht Gefangener 1 der Haftstrafe (Auszahlung 0), wenn er gesteht. Schweigt er hingegen auch, erhält er 2 Jahre Haft (- 2). Das heißt, auch auf die Strategie Schweigen des Gefangenen 2 sollte der Gefangene 1 mit Gestehen reagieren. Gestehen ist in also beiden Fällen die beste Antwort auf die Strategie des Gefangenen 2.

Beste Antworten sind in der Spieltheorie jene Strategien, die die größte Auszahlung auf die jeweilige Strategie des Gegners einbringen.

Analog gestalten sich die Überlegungen aus der Sicht des Gefangenen 2. Auch für ihn ist Gestehen immer die beste Antwort. Damit hat sich auch ein Gleichgewicht eingestellt. Für keinen der beiden Spieler zahlt es sich aus, (einseitig) von seiner Strategie Gestehen abzuweichen, er würde dadurch seine Auszahlung verringern, d. h. weniger Lebensjahre in Freiheit verbringen können.

Zu denken gibt natürlich, dass beide Spieler mit der Strategiekombination (Schweigen, Schweigen) eine höhere Auszahlung erreichen würden. Würde einer der beiden dann allerdings doch Gestehen wählen (während der andere schweigt), ginge er sogar ohne Haft aus. Individuelle Rationalität führt also hier zum "Dilemma".

Abschließend zum Gefangenendilemma ein interessanter und ganz wesentlicher Punkt: Lernende meinen anfänglich oft, das Dilemma der Situation bestehe darin, dass die beiden Gefangenen sich nicht absprechen dürfen. Dabei würde eine Absprache vor dem getrennten Verhör am Dilemma nichts ändern. Denn wird im spieltheoretischen Sinn überlegt, steht immer das Finden der besten Antwort, also das Erlangen der höchsten Auszahlung aus Sicht eines Spielers als oberstes Ziel. Gestehen ist in diesem Beispiel eben immer die beste Antwort, gerade auch, wenn der andere schweigt. Moralische Werte wie das Halten an Absprachen oder Kalkulieren der Auswirkungen für den anderen bleiben völlig auf der Strecke - ein wunderbarer Ansatzpunkt für fächerübergreifenden Unterricht.


Kalter Krieg

Sei Abrüsten die erste Strategie in der Menge und Aufrüsten die zweite. Die Auszahlungsmatrix für Land 1 ist dann gegeben durch:

A = (     )
  1  4
  0  2

Die Auszahlungsmatrix des zweiten Landes wird durch AT beschrieben.
Dieses Spiel ist eine Variante des Gefangenendilemmas.

Das Markteintrittsspiel

Die Auszahlungsmatrix lautet für Supercola:

A= (                    )
  20000  30000  70000
( 10000  40000  60000)
  90000  50000  80000

Die Auszahlungsmatrix für ColaCola entspricht -A.

Es ist leicht zu erkennen, dass SuperCola immer die Werbestrategie WS3 ausüben wird. ColaCola reagiert darauf mit Stategie GS2, da dies für CC den geringsten Verlust von Kunden bedeutet.

Ein Münzspiel

Ist das Werfen der 50-Cent-Münze die erste Strategie, das Werfen der 1-Euro-Münze die zweite, und das Werfen der 2-Euro-Münze die dritte, ergibt sich folgende Auszahlungsmatrix:

A = (             )
( - 1  1    1 )
   1  - 5  - 5
   1   5   10

Die Auszahlungsmatrix von Spieler 2 entspricht -A. Auch hier ist leicht einzusehen, dass Spieler 1 immer das 2-Euro-Stück in die Mitte werfen wird.

Schwarzfahren

Die Auszahlungsmatrix für Franz mit Schwarzfahren als erste und Zahlen als zweite Strategie, sowie Kontrollieren als erste und nicht Kontrollieren als zweite Strategie für Karl ist gegeben durch:

A = ( - 40  0 )
  - 3  - 3

Die Auszahlungsmatrix für Karl sieht wie folgt aus:

A = (       )
   3  0
  - 7 0

Diese Auszahlungsmatrizen sind nicht eindeutig, da es einen Ermessensspielraum gibt, die Freude über ein erspartes Ticket oder den Ärger über die vergebene Chance, einen Schwarzfahrer zu erwischen, monetär in die Matrizen einfließen zu lassen. Wichtig ist die Argumentation solcher Monetarisierungen. Ebenfalls wichtig ist, dass der moralische Aspekt thematisiert wird. Argumentieren die Schüler geschickt, ergibt sich, dass Schwarzfahren eine gute Strategie ist. Wie kann man diese moralisch fragwürdige Strategie in diesem Spiel ausschließen? Dies wäre zum Beispiel über eine Verringerung der Opportunitätskosten möglich.
Nach oben ^

Aufgaben zu Einheit 2


Aufgabe - Matrixspiele und Auszahlungsfunktionen

Stelle zu zwei der Matrixspiele, die du schon in Einheit 1 kennengelernt hast, die jeweilige Auszahlungsfunktion auf.

Kalter Krieg *

Zwei Länder befinden sich im kalten Krieg, beide haben die Strategien Aufrüsten und Abrüsten zur Wahl.

Entscheidet sich ein Land für Aufrüsten, während das andere (in falschem Vertrauen) Abrüsten wählt, so steigt jenes Land, das besser für einen eventuellen Krieg gerüstet ist, mit einem Nutzen von 4 aus. Denn das andere Land ist in diesem Fall bei jeglichen Verhandlungen, z. B. auch bei wirtschaftlichen, einem Druck ausgesetzt und bekommt daher selbst einen subjektiven Nutzen von 0 zugeschrieben.
Rüsten beide Länder auf, wird viel Geld investiert, das ansonsten für andere Zwecke verwendet werden könnte. Außerdem hat keine Nation ein Druckmittel gegenüber der anderen (jeweils Nutzen 1). Bei beidseitigem Abrüsten steht beiden Ländern mehr Geld zur Verfügung, die Positionen sind ausgeglichen (jeweils Nutzen 2).

Das Markteintrittsspiel **

Eine Getränkehersteller möchte mit dem Produkt Supercola (SC) in den Markt für Cola eintreten.

Bisher ist eine Firma mit dem Produkt Colacola (CC) Monopolist auf diesem Markt. Supercola erarbeitet sich drei Werbestrategien, um sich auf dem Markt zu platzieren: WS1, WS2, WS3. Durch Spionage weiß Colacola darüber perfekt Bescheid und entwickelt drei Gegenstrategien: GS1, GS2, GS3. Supercola bekommt Wind davon und beauftragt ebenso wie Colacola ein Marktforschungsinstitut, das die Wirksamkeit der Strategien für alle eventuellen Gegenstrategien erforscht.

Setzt SC auf Strategie WS1 und kontert CC mit Strategie GS1 so wandern 20000 Kunden zu SC über, kontert CC mit GS2 30000 und mit GS3 70000 Kunden. Setzt SC auf die Strategie WS2 und kontert CC mit GS1, so wandern 10000 Kunden über, mit GS2 40000 und mit GS3 60000 Kunden. Setzt SC hingegen auf Strategie WS3, so wandern bei GS1 90000, bei GS2 50000 und bei GS3 80000 Kunden zu SC über. Die Firmen setzen durch Industriespionage ihre Werbestrategien nahezu gleichzeitig ein. Ist ein Werbefeldzug gestartet, ist er nicht mehr abzubrechen.

Ein Münzspiel **

Jeder Spieler besitzt bei diesem Spiel drei Münzen, ein 50 Cent-Stück, ein Ein-Euro-Stück und ein Zwei-Euro-Stück. Auf ein vereinbartes Zeichen schmeißen beide Spieler gleichzeitig eine der Münzen in die Mitte. Vor Spielbeginn bestimmen die Spieler, wer Spieler 1 und wer Spieler 2 ist.

  • Schmeißen beide Spieler das 50 Cent-Stück in die Mitte, erhält Spieler 2 einen Euro von Spieler 1. Spielt Spieler 1 das 50 Cent-Stück und Spieler 2 das Ein-Euro-Stück, so erhält Spieler 1 einen Euro. Ebenso wenn Spieler 2 das Zwei-Euro-Stück in die Mitte wirft.
  • Wirft Spieler 1 ein Ein-Euro-Stück in die Mitte und Spieler 2 das 50 Cent-Stück, so erhält Spieler 1 einen Euro, bei einem Ein-Euro-Stück von Spieler 2 erhält Spieler 2 fünf Euro, ebenso bei einem Zwei-Euro-Stück von Spieler 2.
  • Spielt Spieler 1 das Zwei-Euro-Stück und Spieler 2 das 50 Cent-Stück, erhält er von Spieler 2 einen Euro, spielt Spieler 2 hingegen das Ein-Euro-Stück, erhält Spieler 1 fünf Euro, spielt Spieler 2 das Zwei-Euro-Stück erhält Spieler 1 zehn Euro.

Schwarzfahren ***

Fahrgast Franz fährt jeden Tag mit derselben Straßenbahn zur Arbeit. Er kann dabei täglich zwischen den Strategien Schwarzfahren und Zahlen wählen. Kontrolleur Karl kann unabhängig davon jeden Tag entscheiden, ob er in dieser Straßenbahn kontrolliert oder nicht kontrolliert.

Wenn Franz schwarzfährt und Karl kontrolliert, ist das natürlich der schlechteste Fall für Franz. Er muss Strafe zahlen (40€), blamiert sich vor den anderen Fahrgästen und ärgert sich über den Zeitverlust, den die ganze Aktion mit sich bringt. Für Karl ist das allerdings optimal, er verbucht Einnahmen und kann Signalwirkung für die anderen Fahrgäste erzielen.
Umgekehrt ist die Situation, wenn Franz schwarzfährt, Karl aber nicht kontrolliert. Franz freut sich ein wenig über das ersparte Ticket, Karl ärgert sich über die vergebene Chance. Zahlt Franz, wenn Karl kontrolliert, ist das für Franz in Ordnung. Karl allerdings bedauert im Nachhinein, überhaupt kontrolliert zu haben. Wenn er allerdings nicht kontrolliert, dann ist wieder Franz unzufrieden, er hätte sich in diesem Fall das Zahlen ersparen können. Eine Fahrkarte kostet 3€. Kontrolliert Karl und erwischt einen Fahrgast, so erhält er als Prämie 10€. Das Kontrollieren hat für Karl immer einen Aufwand, da er in dieser Zeit nicht seinen Papierkram erledigen kann. Die verpasste Zeit pro Kontrolle kostet ihn 7€.


Reine Strategien

Jürgen und Pierre sind zu früh auf dem Platz zum Fußballtraining und ihnen ist langweilig. Sie beschließen Elfmeterschießen zu üben. Jürgen geht ins Tor und Pierre schießt die Elfmeter.

Sie vereinbaren, dass Pierre nur flach in die Ecken schießen darf, damit es Jürgen einfacher fällt einen Schuss zu halten. Pierre kann also nach links oder nach rechts schießen, Jürgen kann in eine der beiden Richtungen springen.
Wir unterstellen nun, dass der Torwart Jürgen, wenn er zur selben Seite springt, in die der Stürmer Pierre geschossen hat, den Ball fängt. Dies soll mit einem Punkt für den Torwart gewertet werden. Springt er auf die falsche Seite, schießt Pierre ein Tor, was als Punkt für ihn gewertet wird.
Beide Spieler wählen gleichzeitig ob links oder rechts. Um das Spiel interessanter zu gestalten, vereinbaren die beiden, dass man für jeden Punkt 1 € vom anderen erhält.

  • Stelle die Auszahlungsmatrizen des Fußballspiels für Jürgen und Pierre auf.
  • Stelle die Auszahlungsfunktion für beliebige Strategien x für Pierre und y für Jürgen auf.
  • Berechne die Auszahlung für Pierre, wenn Pierre nach links schießt und Jürgen nach rechts springt mit Hilfe der Auszahlungsfunktion. Was fällt dir bei dieser Berechnung auf?

Gemischte Strategien

  • Berechne die mittlere Auszahlung für Pierre, wenn er mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.5 nach links schießt und Jürgen mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.7 nach links springt.
  • Berechne die mittlere Auszahlung für Jürgen, wenn Pierre mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.3 nach links schießt und Jürgen immer nach rechts springt.

Nach oben ^

Lösungen zu Einheit 2


Reine Strategien

Auszahlungsmatrix

Die Auszahlungsmatrix für Pierre lautet:

     (   1  - 1 )
A  =
       - 1   1

Die für Jürgen

     (         )
       - 1   1
B =      1  - 1

Auszahlungsfunktion

Die Auszahlungsfunktion für Pierre ergibt sich mit U1(x,y) = xT Ay. Setzt man A ein, ergibt sich:

U1(x,y) = xT Ay

= xT (        )
 - 1   1
  1   - 1 y
= x1(-y1 + y2) + x2(y1 - y2).
Für die Auszahlungsfunktion von Jürgen U2(x,y) = xT By ergibt sich

U2(x,y) = xT By

= xT ( 1   - 1)
 - 1   1 y
= x1(y1 - y2) + x2(-y1 + y2).

Auszahlung für Spieler 1 im gegebenen Fall

U1(( )
 0
 1,(  )
  1
  0) = 1(1 - 0) = 1 = A2,1.

Nach oben ^

Gemischte Strategien

Schießt Pierre mit einer Wahrscheinlichkeit von p = 0,5 nach rechts und mit einer Wahrscheinlichkeit von q = 1 - p = 0,5 nach links, spielt er die gemischte Strategie

x = (0, 5)
  0,5
Springt Jürgen mit einer Wahrscheinlichkeit von r = 0,3 nach rechts und mit der Wahrscheinlichkeit s = 1 - r = 0,7 nach links, so spielt er die gemischte Strategie
y = (    )
  0,3
  0,7
Für die Auszahlung für Pierre ergibt sich mit der oben festgestellten Auszahlungsfunktion
U1(x,y) = x1(-y1 + y2) + x2(y1 - y2) = 0,5(-0,3 + 0,7) + 0,5(0,3 - 0,7) = 0
Für die zweite Auszahlung ergibt sich analog zu oben:
U2 ((    ) (  ) )
   0,7 ,  1
   0,3    0 = 0,7(1 - 0) + 0,3(-1 + 0) = 0,4.

Nach oben ^

Aufgaben zu Einheit 3


Zeige anhand der Auszahlungsfunktionen, dass das Fußballspiel ein symmetrisches Nullsummenspiel ist.


Nach oben ^

Lösungen zu Einheit 3


Die Auszahlungsmatrix für Pierre lautet:

     (   1  - 1 )
A  =
       - 1   1

Die für Jürgen

     (         )
       - 1   1
B =      1  - 1

Somit folgt xT By = xT - Ay = - xTay, also U2(x,y) = - U1(x,y). Das Spiel ist also ein Nullsummenspiel.
Mit A = AT und A = - B folgt

U1(x,y) = xT Ay = xT AT y = (AT y)Tx = yT Ax = - yT B x = - U2(y,x).


Nach oben ^

Aufgaben zu den Einheiten 4 und 5


Schere-Stein-Papier

Das Spiel Schere-Stein-Papier hat sehr einfache Regeln. Es wird zu zweit gespielt, dabei wählt jeder Spieler eine der drei möglichen Strategien Schere, Stein, oder Papier. Jede dieser Möglichkeiten schlägt eine der beiden anderen und wird wiederum von einer geschlagen.

Es ergibt sich:

Schere-Stein-Papier

Gewinnt ein Spieler, so rechnen wir mit einer Auszahlung von 1 € (1), verliert er, so rechnen wir mit dem Verlust von 1 €, oder anders ausgedrückt, mit einer Auszahlung von (-1).

Gib die Strategiemenge an und stelle die Auszahlungsmatrix zu diesem Spiel auf.

Stelle die Auszahlungsfunktion auf. Berechne die Auszahlung des Spiels, wenn Spieler 1 die Strategie (0.5,0.5,0) und Spieler 2 die Strategie (0,0.5,0.5) spielt.

Finde ein Nash-Gleichgewicht für das Spiel in gemischten Strategien.


Nach oben ^

Verfahren der Elimination strikt dominierter Strategien

Finde zu dem folgenden abstrakten Spiel mit der unten stehenden Auszahlungsmatrix das Nash-Gleichgewicht mittels des Verfahrens der Elimination strikt dominierter Strategien.

Spieler 2
Spieler 1
1 2 3 4
1 1 | 2 2 | 3 3 | 2 1 | 1
2 0 | 2 1 | 1 3 | 0 1 | 0
3 0 | 3 1 | 2 2 | 1 3 | 2
4 0 | 2 1 | 3 2 | 1 0 | 3

Nach oben ^

Finde den Fehler

Felix und Oscar leben in einer WG. Sie haben unterschiedliche Vorstellungen über Sauberkeit und demzufolge auch über die Anzahl an Stunden, die sie bereit sind, für das Putzen der Wohnung aufzubringen.

Angenommen, dass mindestens 12 Arbeitsstunden (pro Woche) nötig sind, um die Wohnung blitzsauber zu machen, 9 Arbeitsstunden, um sie annehmbar sauber zu bekommen und alles unter 9 Arbeitsstunden bedeutet, dass die Wohnung dreckig bleibt.

Angenommen, jeder der beiden Personen kann 3, 6 oder 9 Stunden seiner Zeit dem Putzen der Wohnung widmen.

Felix und Oscar sind sich einig, dass eine annehmbar saubere Wohnung einen Nutzenindex von 2 hat. Sie sind sich aber nicht über den Wert einer richtig sauberen Wohnung einig; für Felix hat sie in diesem Fall einen Nutzenindex von 10, während für Oscar den Nutzen nur 5 Einheiten beträgt. Sie sind sich auch nicht einig über die Widerwärtigkeit einer dreckigen Wohnung; während für Felix in diesem Fall die Wohnung einen Nutzenindex von -10 hat, beträgt der Nutzen für Oscar -5.

Die Auszahlung jeder Person ist die Differenz zwischen dem Nutzen der Wohnung und den Stunden, die man zum Putzen aufbringt; z.B. eine blitzsaubere Wohnung, für die jeder 6 Stunden gearbeitet hat, bringt Felix eine Auszahlung von 4, während für Oscar die Auszahlung in diesem Fall -1 beträgt.

Felix hat seine Auszahlungsmatrix aufgestellt:

    (              )
       - 13  - 5 7
A = (   - 4  - 4 4 )
          1   1  1

Korrigiere die Fehler und stelle zusätzlich die Auszahlungsmatrix für Oskar auf.
Finde über das Verfahren der dominierten Strategien das Nash-Gleichgewicht des Spiels, wenn auch schwach dominierte Strategien gestrichen werden (das heißt, das der Nutzen dieser Strategie nur größer gleich statt größer ist). Was ist zu diesem Verfahren kritisch anzumerken?


Nach oben ^

Schere-Stein-Papier-Echse-Spock

Betrachte den folgenden Ausschnitt aus der Serie "The Big Bang Theory" und bearbeite im Anschluss die folgenden Aufgaben.

  • Dr. Sheldon Cooper erklärt, dass es im Spiel Schere-Stein-Papier bei Spielern, die sich gut kennen, häufig zu "Unentschieden" kommen kann. In diesem Fall heißt das, dass die Spieler dieselbe Strategie wählen. Stimmst du dieser Aussage zu? Diskutiere in deiner Gruppe.
  • Das Spiel wird zu Schere-Stein-Papier-Echse-Spock erweitert.
    • Notiere, wann eine Strategie jeweils gewinnt/verliert und stelle die Auszahlungsmatrix auf.
    • Du hast bereits die Nash-Strategie für Schere-Stein-Papier bestimmt. Stelle eine Vermutung auf, welche die Nash-Strategie für Schere-Stein-Papier-Echse-Spock ist.
      Gibt es Unterschiede oder verhält sich dieses Spiel ähnlich? Diskutiere in der Gruppe und begründe deine Vermutung.

Nach oben ^

Entwickeln eines Spiels

Entwickle in Einzelarbeit ein Spiel für zwei Spieler, dass sich mit spieltheoretischen Mitteln lösen lässt.
Lasse das Spiel von deinen Gruppenmitgliedern testen. Existiert für dein Spiel ein Nash-Gleichgewicht?


Nach oben ^

Lösungsvorschläge zu den Einheiten 4 und 5


Schere-Stein-Papier

Auszahlungsmatrix

Man erhält eine Auszahlungsmatrix der Form:

Spieler 2
Spieler 1
Schere Stein Papier
Schere 0 | 0 - 1 | 1 1 | -1
Stein 1 | - 1 0 | 0 - 1 | 1
Papier - 1 | 1 1 | -1 0 | 0

Man kann alternativ nur einen Spieler betrachten (hier Spieler 1), und die Auszahlungsmatrix in üblicher Matrizenschreibweise darstellen.

      (   0  - 1   1 )
      (              )
M1   =      1    0  - 1
         - 1   1   0

Und für Spieler 2 wäre es entsprechend:

      (   0    1  - 1 )
      (              )
M2   =     - 1   0   1
          1  - 1   0

An den Auszahlungsmatrizen erkennt man, dass das Spiel ein symmetrisches Nullsummenspiel ist.

Strategiemengen und Auszahlungsfunktionen

Die Strategiemengen sind für beide Spieler identisch. Die Strategiemenge der reinen Strategien lautet:

                 ∑3
S = {x ∈ {0,1}3 :   xj = 1}
                 j=1

Die Strategiemenge der gemischten Strategien:

               ∑ 3
S-= {x ∈ [0,1]3 :   xj = 1}
                j=1

Die Auszahlungsfunktionen des Spiels lauten:

U1(x,y) = xTAy
U2(x,y) = xTBy = xT(-A)y

Nash-Gleichgewicht

Die Bedingungen für ein Nash-Gleichgewicht für Zwei-Personen-Spiele lauten: (ˆx,ŷ) ist ein Nashgleichgewicht, wenn

U1(ˆx,ŷ) U1(x,ŷ)
U2(ˆx,ŷ) U2(ˆx,y)

für alle x aus S1 und y aus S2. Da S = S1 = S2 und somit S = S1 = S2 ist und U1(x,y) = -U2(x,y) erhält man als Bedingung für das Nash-Gleichgewicht:

U1(x,ŷ) U1(ˆx,ŷ) U1(ˆx,y)

Die Bedingung für Nash-Gleichgewichte für symmetrische Nullsummenspiele besagt, dass die Strategiekombination (x,x) dann ein Nash-Gleichgewicht ist, wenn x aus S ist und die Bedingung

U1(x,z) 0
für alle z aus S erfüllt.
Nach dem Einsetzen der Auszahlungsfunktion ergibt sich:
xT Az 0
für alle z aus S.

Das sieht erstmal sehr mathematisch und kompliziert aus. Setzt man jedoch die Auszahlungsmatrix ein, ergibt sich:

(            )
 x1,  x2,  x3 ⋅ (             )
(  0   - 1  1 )
   1    0  - 1
  - 1   1   0 ⋅ (   )
(z1 )
  z2
  z3
= x1(z2 - z3) + x2(-z1 + z3) + x3(z1 - z2) 0

Setzt man nun analog zur Lösung des Fußballspiels die Einheitsvektoren für z ein, ergibt sich:

- x2 + x3 0,z = e1
x1 - x3 0,z = e2
- x1 + x2 0,z = e3

also für z = e1 : x3 x2 für z = e2 : x1 x3 und für z = e3 : x2 x1. Insgesamt zeigt sich:
x1 x3 x2 x1 x1 = x2 = x3.
Zusammen mit x1 + x2 + x3 = 1 ergibt sich:
x1 = x2 = x3 = 1
--
3.

Nach oben ^

Verfahren der Elimination strikt dominierter Strategien

Die erste Strategie des ersten Spielers dominiert die vierte Strategie von Spieler 1. Die vierte Zeile ist zu streichen, man erhält:

Spieler 2
Spieler 1
1 2 3 4
1 1 | 2 2 | 3 3 | 2 1 | 1
2 0 | 2 1 | 1 3 | 0 1 | 0
3 0 | 3 1 | 2 2 | 1 3 | 2

In der entstandenen Matrix dominiert die erste Strategie von Spieler 2 dessen vierte. Die vierte Spalte ist zu streichen.

Spieler 2
Spieler 1
1 2 3
1 1 | 2 2 | 3 3 | 2
2 0 | 2 1 | 1 3 | 0
3 0 | 3 1 | 2 2 | 1

In dieser Matrix dominiert die erste Strategie von Spieler 1 seine dritte. Die dritte Zeile wird gestrichen.

Spieler 2
Spieler 1
1 2 3
1 1 | 2 2 | 3 3 | 2
2 0 | 2 1 | 1 3 | 0

Nun dominiert die zweite Strategie von Spieler 2 seine dritte. Die dritte Spalte wird gestrichen.

Spieler 2
Spieler 1
1 2
1 1 | 2 2 | 3
2 0 | 2 1 | 1

Die erste Strategie von Spieler 1 dominiert seine zweite. Diese wird also gestrichen und er spielt infolge dessen Strategie 1.

Spieler 2
Spieler 1
1 2
1 1 | 2 2 | 3

Für Spieler 2 ist es nun rational, seine zweite Strategie zu spielen.

Spieler 2
Spieler 1
2
1 2 | 3

Das Nash-Gleichgewicht liegt bei der Strategiekombination der ersten Strategie für Spieler 1 und der zweiten Strategie für Spieler 2 mit der Auszahlung (2, 3) vor.


Nach oben ^

Finde den Fehler

Die korrekte Auszahlungsmatrix lautet:

    (  - 13  - 1 7 )
    (              )
A =     - 4   4  4
          1   1  1

Angewendet werden muss das Verfahren auf:

Oskar
Felix
3 6 9
3 -13 | -8 -1 | -4 7 | -4
6 -4 | -1 4 | -1 4 | -4
9 1 | 2 1 | -1 1 | -4

Zunächst wird die 9 Stunden-Strategie von Oskar gestrichen, danach die 3 Stunden-Strategie von Felix.
Nun wird die 6 Stunden-Strategie von Oskar gestrichen.

Das Nash-Gleichgewicht liegt bei 9 Stunden Aufwand für Felix und 3 Stunden Aufwand für Oskar.

Dieses Verfahren ist kritisch zu hinterfragen, da es zwar rational erscheint die schwach dominante Strategie zu spielen aber eben nicht unbedingt, wenn man annimmt, dass der Gegner eine Strategie spielt, bei der die Auszahlung der dominierenden und dominierten Strategie gleich sind.


Nach oben ^

Schere-Stein-Papier-Echse-Spock

Klar ist, je weniger Möglichkeiten es gibt, desto höher ist die Wahrscheinlichkeit zum Unentschieden. Diese ist bei rationalen Spielern jedoch unabhängig davon, ob der Gegenspieler bekannt ist oder nicht.

Die Auszahlungsmatrix mit der Strategienreihenfolge Schere, Stein, Papier, Echse, Spock sieht für Spieler 1 wie folgt aus:

(  0   - 1  1    1  - 1)
|                      |
||  1   0   - 1   1  - 1||
| - 1  1    0   - 1  1 |
( - 1  - 1  1    0   1 )
   1   1   - 1  - 1  0

Das Nash-Gleichgewicht dieses Spiels ist x = (1   1   1   1  1)
 5,  5,  5,  5, 5 und berechnet sich analog zum Nash-Gleichgewicht des Ausgangsspiels Schere-Stein-Papier. Logisch-argumentativ kann man das damit begründen, dass jede Strategie der gleichen Anzahl anderer Strategien überlegen bzw. unterlegen ist.


Nach oben ^

Hilfen zu den Einheiten


Diese Hilfen können den SuS gegeben werden, wenn sie bei den Aufgaben der Einheiten Probleme haben.

Einheit 2

Aufgabe: Matrixspiele

Tipp: Die Auszahlungsfunktion U1 des Spielers 1 eines Spiels mit einer Auszahlungsmatrix A für Spieler 1, lässt sich durch die Funktion

U1 = xTAy

darstellen, wobei x eine gemischte Strategie von Spieler 1 und y eine gemischte Strategie von Spieler 2 ist.

Das Produkt einer Matrix A und eines Vektors v berechnet sich bei einer 2 x 2 - Matrix wie folgt:

       (a     a  )  (v )    (a  v  + a  v )
A ⋅v =    11   12  ⋅  1   =    11 1    12 2
         a21  a22    v2       a21v1 + a22v2

Das Produkt eines transponierten Vektors w mit einer Matrix B wie folgt:

         (       )  (b    b  ) (                            )
wT ⋅B  =  w1,  w2  ⋅   11   12   w1a11 + w2a21, w1a12 + w2a22
                      b21  b22

Für die Auszahlungsfunktion xTAy bedeutet dies im Fall einer 2 x 2 Matrix und zweidimensionaler Strategievektoren:

        (     ) (a    a  )  (y )    (     ) (a  y + a  y )
xTAy  =  x1,x2 ⋅   11   12  ⋅  1  =   x1,x2 ⋅  11 1    12 2   = x1(a11y1+a12y2)+x2(a21y1+a22y2)
                  a21  a22    y2              a21y1 + a22y2

Aufgabe: Reine und gemischte Strategien

Tipp: Setze die jeweiligen Strategievektoren in die Auszahlungsfunktion ein.

Einheit 3

Aufgabe: Zeige anhand der Auszahlungsfunktionen, dass das Fußballspiel ein symmetrisches Nullsummenspiel ist.

Tipp: Benutze die Definitionen für symmetrische Spiele.

Einheit 4 und 5

Aufgabe: Schere-Stein-Papier

Allgemein
Tipp: Ist die Auszahlungsmatrix A für Spieler 1 gegeben, berechnet sich die Auszahlungsfunktion durch U1(x,y)= xTAy, wobei der erste Spieler x und der zweite Spieler y spielt.

Finden des Nash-Gleichgewichts
Tipp 1: Was waren die Bedingungen für das Nash-Gleichgewicht? Wie in symmetrischen Nullsummenspielen?
Tipp 2: Es gilt S = S1 = S2 und U1(x,y) = - U2(y,x).
Tipp 3: Das Spiel ist ein symmetrisches Nullsummenspiel. Verwende die Bedingungen für symmetrische Nullsummenspiele. Orientiere dich am Beispiel des Fussballspiels aus Einheit 3.

Aufgabe: Elimination strikt dominierter Strategien

Tipp: Beginne mit der 4. Spalte der Matrix.

Aufgabe: Finde den Fehler

Tipp: Welche Strategie würde Oskar nie wählen?

Aufgabe: Schere-Stein-Papier-Echse-Spock

Auszahlungsmatrix
Gehe genauso vor wie bei Schere-Stein-Papier.

Nash-Gleichgewicht
Wie waren die Wahrscheinlichkeiten für die Strategien bei Schere-Stein-Papier verteilt?

Überprüfung Nash-Gleichgewicht
Setze die gefundene Strategie in die Nash-Gleichgewicht-Bedingungen zur Überprüfung ein.


Nach oben ^

Materialien zum Download


Hilfen zu den Einheiten
Material Einheit 1
Material Einheit 2
Material Einheit 3
Material Einheiten 4 und 5

Material zu Blütenaufgabe Bedarfsberechnung
Nach oben ^

Filmausschnitt


Ausschnitt aus A Beautiful Mind: http://www.youtube.com/watch?v=tVpz_0oYp9Mo
Hier wird das Nash-Gleichgewicht im Film erklärt. Sie können den Ausschnitt nutzen, falls Sie den Film nicht besitzen oder ausleihen können.
Beim Film finden Sie die entsprechende Szene bei Minute 19:20.


Nach oben ^

Literaturempfehlungen / Quellen


Als Einstieg und Motivation und zur Abendlektüre:

Dixit, Avinash K./ Nalebuff, Barry J. 1997: Spieltheorie für Einsteiger - Strategisches Know-how für Gewinner. Tübingen: Schäffer - Poeschel Verlag.

Weiterführende Literatur mit geringem mathematischen Anspruch:

Holler, Manfred J. / Illing, Gerhard 2003: Einführung in die Spieltheorie. Berlin, Heidelberg, London, New York: Springer Verlag.
Berninghaus, Siegfried K. /Ehrhart, Karl-Martin/Güth, Werner 2010: Strategische Spiele - Eine Einführung in die Spieltheorie. Berlin, Heidelberg, London, New York: Springer Verlag.

Weiterführenden Literatur mit höherem mathematischen Anspruch:

Krabs, Werner 2005: Spieltheorie - Dynamische Behandlung von Spielen. Leipzig, Stuttgart, Wiesbaden: Teubner.


Spieltheorie - WS 11/12 - Anwendungsorientierter Mathematikunterricht

Sitemap - Stichwortverzeichnis - Impressum